PENGARUH WAKTU TUNDA PADA MODEL PERTUMBUHAN POPULASI LOGISTIK
Abstrak
Model pertumbuhan populasi logistik merupakan model pertumbuhan populasi satu spesies yang mempertimbangan daya dukung lingkungan yang terbatas. Pada artikel ini dikaji pengaruh waktu tunda pada model pertumbuhan logistik, baik waktu tunda diskret maupun waktu tunda terdistribusi. Waktu tunda dalam hal ini dapat diintepretasikan sebagai waktu tunda reproduksi akibat proses pendewasaan, waktu pembentukan telur hingga menetas, dan sebagainya. Secara khusus akan dikaji pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan titik tetap yang ada. Kestabilan titik tetap ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan linearisasi persamaan di sekitar titik tetap tersebut, dan selanjutnya menyelidiki distribusi nilai eigen dari matriks Jacobi sistem linear yang didapatkan. Hasil analisis menunjukkan bahwa waktu tunda diskret dapat mengakibatkan perubahan kestabilan titik tetap positif dan munculnya solusi periodik. Dengan kalimat lain, waktu tunda diskret dapat menyebabkan adanya bifurkasi Hopf di titik tetap positif. Di lain pihak, model logistik dengan waktu tunda terdistribusi mempunyai perilaku dinamik yang sama dengan model pertumbuhan logistik tanpa waktu tunda. Gabungan waktu tunda diskret dan terdistribusi pada model logistik mengakibatkan dinamika yang lebih kompleks.
Referensi
Kuang, Y., Delay differential equations with applications in population dynamics, Academic Press, Boston, 1993.
MacDonald, N., Time lags in biological models, Lecture Notes in Biomathematics 27, Springer-Verlag, Heidelberg, 1978.
Murray, J.D., Mathematical biology: I. An introduction, Springer-Verlag, New York,
2002.
Ruan, S., Delay differential equations in single species dynamics, dalam Delay differential equations and applications, Ed(s): O. Arino, M.L. Hbid dan A. Ait Dads, Springer, Berlin, hal. 477-517, 2006.
Sarkar, S. dan A. Plutynski, A Companion to the Philosophy of Biology, Blackwell
Publishing Ltd, Maiden, 2008.
Smith, H., An introduction to delay differential equations with applications to the life sciences, Springer, New York, USA, 2011.
Song, Y. dan Y. Peng, Stability and bifurcation analysis on a Logistic model with discrete and distributed delays, Applied Mathematics and Computations, 181, hal. 1745-1757, 2006.
Sun, C.J., M.A. Han dan Y.P. Yang, Analysis of stability and Hopf bifurcation for a delayed logistic equation, Chaos, Soliton and Fractals, 31, hal. 672-682, 2007
